Banach空间

三角不等式给出$\Vert x\Vert =\Vert (x-y)+y\Vert \le \Vert x-y\Vert +\Vert y\Vert$，类似地$\Vert y\Vert \le \Vert x-y\Vert +\Vert x\Vert$，综合两式可得结论。

1. 对于任意正数$ϵ$和$x\in X$，根据反向三角不等式（命题 14.1），当$d(x,y)=\Vert x-y\Vert <ϵ$时，$\left|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert \right|\le \Vert x-y\Vert <ϵ$。 根据命题 1.16，$\Vert \cdot \Vert$连续；

2. 对于任意正数$ϵ$和$x,y\in X$，根据三角不等式，当$d(x,a)=\Vert x-a\Vert <ϵ/2$且$d(y,b)=\Vert y-b\Vert <ϵ/2$时，$d(x+y,a+b)\le \Vert x-a\Vert +\Vert y-b\Vert <ϵ$。 根据命题 1.16，该映射连续；

3. 对于任意正数$ϵ$和$x\in X$，根据线性性与三角不等式，当$\left|\alpha -\beta \right|<ϵ/2\Vert x\Vert$时，$\left|\beta \right|\le \left|\alpha \right|+\left|\alpha -\beta \right|<\left|\alpha \right|+ϵ/2\Vert x\Vert$。 那么当$\Vert x-y\Vert <(\Vert x\Vert +2\left|\alpha \right|/ϵ{)}^{-1}$时，

   $$\Vert \alpha x-\beta y\Vert \le \Vert \alpha x-\beta x\Vert +\Vert \beta x+\beta y\Vert =\left|\alpha -\beta \right|\Vert x\Vert +\left|\beta \right|\Vert x-y\Vert <ϵ.$$

   (14.1.1)

   根据命题 1.16，该映射连续。

对于充分性，设${\sum }_n{u}_n$为$X$中绝对收敛的级数，记部分和为$s_n={\sum }_{k=1}^n{u}_k$。 由于${\sum }_n\Vert u_n\Vert$收敛，其部分和${\sum }_{k=1}^n\Vert u_k\Vert$为Cauchy列，即对于任意正数$ϵ$，存在自然数$n_0$使得${\sum }_{k=m+1}^n\Vert u_k\Vert <ϵ$对所有$n>m\ge n_0$成立。 利用三角不等式，对于这样的自然数$n$和$m$，$\Vert s_n-s_m\Vert \le {\sum }_{k=m+1}^n\Vert u_k\Vert <ϵ$，因此$(s_n)$也是Cauchy列。 $X$的完备性要求$(s_n)$收敛，即${\sum }_n{u}_n$收敛。 反之对于必要性，设$(x_n)$为$X$中的Cauchy列，那么存在自然数$n_k$使得$\left|x_n-x_m\right|<2^{-k}$对所有$n,m\ge n_k$成立。 不妨取$n=n_{k+1},m=n_k$，那么$\Vert x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\Vert <2^{-k}$，这意味着${\sum }_{k=1}^m\Vert x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\Vert <1-2^{-m}$对所有自然数$m$成立。 实数列极限的单调性（定理 1.15）表明${\sum }_k\Vert x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\Vert \le 1<\infty$，因此级数${\sum }_k(x_{n_{k+1}}-x_{n_k})$绝对收敛，进而收敛。 该级数部分和为${\sum }_{k=1}^m(x_{n_{k+1}}-x_{n_k})=x_{n_{m+1}}-x_{n_1}$，因此存在$x={\lim }_m{x}_{n_{m+1}}-x_{n_1}\in X$。 极限的唯一性（命题 1.10）要求${\lim }_n{x}_n=x+x_{n_1}\in X$，因此赋范空间$(X,\Vert \cdot \Vert )$完备。

$a=0$或$b=0$时，该不等式平凡成立，因此假定$a,b>0$，此时Jensen不等式给出

根据引理 14.2，对于每个$i=1,\cdots ,n$，

对上式求和得${\sum }_{i=1}^n\left|x_i{y}_i\right|/({\sum }_{i=1}^n{\left|x_i\right|}^p{)}^{1/p}({\sum }_{i=1}^n{\left|y_i\right|}^q{)}^{1/q}\le 1/p+1/q=1$，结论得证。

$p$的共轭指数$q=p/(p-1)$，因此根据Hölder不等式（定理 14.2）和三角不等式，

对于非零的$x,y\in {\mathbb{F}}^n$，上述不等式可化简为${\Vert x+y\Vert }_p\le {\Vert x\Vert }_p+{\Vert y\Vert }_p$。

结合Minkowski不等式（定理 14.3），容易验证$\Vert \cdot \Vert$为范数。 若$q=\infty$，不妨考虑$1\le p<\infty$的情形，此时$\left|x_i\right|\le ({\sum }_{i=1}^n{\left|x_i\right|}^p{)}^{1/p}$对所有$i$成立，因此${\Vert x\Vert }_{\infty }={\max }_i\left|x_i\right|\le {\Vert x\Vert }_p$，等号成立当且仅当存在唯一非零的$x_i$； 另一方面$\left|x_i\right|\le {\Vert x\Vert }_{\infty }$对所有$i$成立，因此${\Vert x\Vert }_p=({\sum }_{i=1}^n{\left|x_i\right|}^p{)}^{1/p}\le (n{\Vert x\Vert }_{\infty }{)}^{1/p}=n^{1/p}{\Vert x\Vert }_{\infty }$，等号成立当且仅当所有$\left|x_i\right|$相同。 该不等式得证。 若$q<\infty$，已知$\left|x_i\right|\le {\Vert x\Vert }_p$对任意$1\le p\le q$成立，因此

存在唯一非零$x_i$时等号成立。 另一方面，根据Hölder不等式（定理 14.2），取$r=q/p$的共轭指数$s=r/(r-1)=q/(q-p)$，可得

当所有$\left|x_i\right|$相同时等号成立。

当$1\le p<\infty$时，利用Minkowski不等式（定理 14.3），对于任意$(x_n),(y_n)\in {\ell }^p$，$({\sum }_{i=1}^n{\left|x_i+y_i\right|}^p{)}^{1/p}\le ({\sum }_{i=1}^n{\left|x_i\right|}^p{)}^{1/p}+({\sum }_{i=1}^n{\left|y_i\right|}^p{)}^{1/p}\le {\Vert (x_n)\Vert }_p+{\Vert (y_n)\Vert }_p$对所有自然数$n$成立，因此根据实数列的单调收敛准则（定理 1.12），${\Vert (x_n+y_n)\Vert }_p\le {\Vert (x_n)\Vert }_p+{\Vert (y_n)\Vert }_p$； 当$p=\infty$时，$\left|x_n+y_n\right|\le \left|x_n\right|+\left|y_n\right|\le {\Vert (x_n)\Vert }_{\infty }+{\Vert (y_n)\Vert }_{\infty }$对所有自然数$n$成立，因此${\Vert (x_n+y_n)\Vert }_{\infty }\le {\Vert (x_n)\Vert }_{\infty }+{\Vert (y_n)\Vert }_{\infty }$。 可见${\Vert \cdot \Vert }_p(1\le p\le \infty )$确为范数，同时${\ell }^p$关于加法封闭，因此$({\ell }^p,{\Vert \cdot \Vert }_p)$为赋范空间。 而对于$(x_n),(y_n)\in c_0$，实数列极限的单调性与线性性（定理 1.15）给出${\lim }_n\left|x_n+y_n\right|\le {\lim }_n(\left|x_n\right|+\left|y_n\right|)=0+0=0$，因此$c_0$也关于加法封闭，从而$(c_0,{\Vert \cdot \Vert }_{\infty })$也是赋范空间。 现在证明$({\ell }^p,\Vert \cdot \Vert )$和$(c_0,{\Vert \cdot \Vert }_{\infty })$的完备性。 考虑${\ell }^p$内的任意Cauchy列$x_1,x_2,\cdots$，这里$x_n=(x_{n,1},x_{n,2},\cdots )$。 对于任意正数$ϵ$，存在$n_0\in \mathbb{N}$使得$\left|x_{n,i}-x_{m,i}\right|\le {\Vert x_n-x_m\Vert }_p<ϵ$对所有$n,m\ge n_0$和每个$i$成立，因此对于每个给定的$i$，$(x_{n,i}{)}_{n\in \mathbb{N}}$也构成一组Cauchy列。 利用实数列的完备性（定理 1.14），每条实数列$(x_{n,i}{)}_{n\in \mathbb{N}}$收敛到某个$y_i\in \mathbb{F}$。 记$y=(y_1,y_2,\cdots )$，希望证明$y\in {\ell }^p$。 已知${\sum }_{i=1}^r{\left|x_{n,i}-x_{m,i}\right|}^p\le {\Vert x_n-x_m\Vert }_p^p<{ϵ}^p$对所有$n,m\ge n_0$成立。 令$m\to \infty$，则范数的连续性（命题 14.2）要求${\sum }_{i=1}^r{\left|x_{n,i}-y_i\right|}^p\le {ϵ}^p$对所有自然数$r$成立。 由实数列极限的单调性（定理 1.15），${\Vert x_n-y\Vert }_p^p\le {ϵ}^p$，可见$y-x_n\in {\ell }^p$，进而$y=(y-x_n)+x_n\in {\ell }^p$； 这意味着Cauchy列$x_1,x_2,\cdots$收敛到$y\in {\ell }^p$，故$({\ell }^p,{\Vert \cdot \Vert }_p)$完备。 对于$(c_0,{\Vert \cdot \Vert }_{\infty })$内的任意Cauchy列$x_1,x_2,\cdots$，类似可证$\left|x_{n,i}-x_{m,i}\right|\le {\Vert x_n-x_m\Vert }_{\infty }<ϵ/2$对所有$n,m\ge n_1$和每个$i$成立。 令$m\to \infty$，可得$\left|x_{n,i}-y_i\right|\le ϵ/2$； 同时${\lim }_i\left|x_{n,i}\right|=0$要求存在$n_2\in \mathbb{N}$，使得$\left|x_{n,i}\right|<ϵ/2$。 因此存在$n_0=\max \left\{n_1,n_2\right\}$，使得$\left|y_i\right|\le \left|x_{n,i}\right|+\left|x_{n,i}-y_i\right|<ϵ$对每个$i$成立，因此$y\in c_0$，进而可证明Cauchy列$x_1,x_2,\cdots$收敛到$y\in c_0$，即$(c_0,{\Vert \cdot \Vert }_{\infty })$也完备。 最后证明各向量空间的包含关系。 根据定理 14.4，${\sup }_i\left|x_i\right|=\max \left|x_i\right|\le ({\sum }_{i=1}^n{\left|x_i\right|}^q{)}^{1/q}\le ({\sum }_{i=1}^n{\left|x_i\right|}^p{)}^{1/p}$对所有自然数$n$成立，因此利用实数列极限的单调性（定理 1.15），${\Vert (x_n)\Vert }_{\infty }\le {\Vert (x_n)\Vert }_q\le {\Vert (x_n)\Vert }_p$。 这意味着只要较大的范数有界，那么较小的范数必然有界，因此${\ell }^1⊊{\ell }^p⊊{\ell }^q⊊{\ell }^{\infty }$。 对于任意$(x_n)\in c_0$和任意正数$ϵ$，存在$n_0\in \mathbb{N}$使得$\left|x_n\right|<ϵ$对所有$n\ge n_0$成立，因此$\left|x_n\right|\le \max \left\{{\max }_{n\le n_0}\left|x_n\right|,ϵ\right\}<\infty$对所有$n\in \mathbb{N}$成立，进而${\Vert (x_n)\Vert }_{\infty }<\infty$； 同时容易构造$(x_n)=(1-1/n)\in {\ell }^{\infty }$不在$c_0$内，因此$c_0⊊{\ell }^{\infty }$。 而对于任意$(x_n)\in {\ell }^q$，通过反证法容易验证${\lim }_n\left|x_n\right|=0$，同时可构造$(x_n)=(1/n^{1/q})\in c_0$不在${\ell }^q$内，因此${\ell }^q⊊c_0$。

1. 若表述1成立，显然$T$在$x=0$处连续，表述2成立；

2. 若表述2成立，由于$T$在$x=0$处连续，故存在$\delta >0$使得${\Vert x\Vert }_X\le \delta$时${\Vert Tx\Vert }_Y\le 1$。 对于$X$的任意有界子集$U$，$M={\sup }_{x\in U}{\Vert x\Vert }_X<\infty$，那么对于每个$x\in U$，${\Vert (\delta /M)x\Vert }_X=(\delta /M){\Vert x\Vert }_X\le \delta$。 因此$1\ge {\Vert T(\delta x/M)\Vert }_X=(\delta /M){\Vert Tx\Vert }_Y$，即$TU\subseteq B(0,M/\delta )$，因此$T$有界，表述3成立；

3. 若表述3成立，那么存在$\alpha >0$使得${\Vert x\Vert }_X\le 1$时${\Vert Tx\Vert }_Y\le \alpha$。 对于任意$x\in X$，$\alpha \ge {\Vert T(x/{\Vert x\Vert }_X)\Vert }_Y={\Vert Tx\Vert }_Y/{\Vert x\Vert }_X$，即${\Vert Tx\Vert }_Y\le \alpha {\Vert x\Vert }_X$，表述4成立；

4. 若表述4成立，对于任意$x,y\in X$和任意正数$ϵ$，当${\Vert x-y\Vert }_X\le ϵ/\alpha$时，${\Vert Tx-Ty\Vert }_Y={\Vert T(x-y)\Vert }_Y\le \alpha {\Vert x-y\Vert }_X<ϵ$，因此$T\in \mathcal{L}(X,Y)$，表述1成立。

根据定义，对于任意正数$ϵ$，存在$\alpha >0$使得${\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}+ϵ>\alpha$，因此${\Vert Tx\Vert }_Y\le \alpha {\Vert x\Vert }_X<({\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}+ϵ){\Vert x\Vert }_X$对所有$x\in X$成立。 利用$ϵ$的任意性，可知${\Vert Tx\Vert }_Y\le {\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}{\Vert x\Vert }_X$对所有$x\in X$成立。 对于第一个等号，$\lambda ={\sup }_{X\backslash \left\{0\right\}}{\Vert Tx\Vert }_Y/{\Vert x\Vert }_X\ge {\Vert Tx\Vert }_Y/{\Vert x\Vert }_X$对所有$x\in X$成立，因此${\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}\le \lambda$； 反之已证明${\Vert Tx\Vert }_Y/{\Vert x\Vert }_X\le {\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}$对所有$x\in X\backslash \left\{0\right\}$成立，因此$\lambda ={\sup }_{x\in X\backslash \left\{0\right\}}{\Vert Tx\Vert }_Y/{\Vert x\Vert }_X\le {\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}$。 因此$\lambda ={\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}$。 对于任意$x\in X\backslash \left\{0\right\}$，将$x/{\Vert x\Vert }_X$重新记为$x$可直接证明第二个等号。 对于第三个等号，由于${\Vert Tx\Vert }_Y\le {\Vert Tx\Vert }_Y/\Vert x\Vert$对所有满足${\Vert x\Vert }_X<1$的$x\in X$成立，故$\beta \stackrel{\Delta }{=}{\sup }_{{\Vert x\Vert }_X<1}{\Vert Tx\Vert }_Y\le {\sup }_{{\Vert x\Vert }_X<1}{\Vert T(x/{\Vert x\Vert }_X)\Vert }_Y=\lambda$； 另一方面，对于任意正数$ϵ$和$x\in X$，$\beta \ge {\Vert Tx/({\Vert x\Vert }_X+ϵ)\Vert }_Y$，即${\Vert Tx\Vert }_Y\le \beta ({\Vert x\Vert }_X+ϵ)$，因此${\Vert Tx\Vert }_Y\le \beta {\Vert x\Vert }_X$对所有$x\in X$成立，这意味着$\beta \ge \lambda$，从而$\beta =\lambda$。 最后，首先有$\lambda =\beta \le {\sup }_{{\Vert x\Vert }_X\le 1}{\Vert Tx\Vert }_Y$； 对于反向不等式，类似有${\sup }_{{\Vert x\Vert }_X\le 1}{\Vert Tx\Vert }_Y\le {\sup }_{x\in X\backslash \left\{0\right\}}{\Vert Tx\Vert }_Y/{\Vert x\Vert }_X=\lambda$，得证。

对于任意$T\in \mathcal{L}(X,Y)$和任意正数$ϵ$，根据定义，存在$\alpha >0$使得${\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}+ϵ>\alpha >0$，因此$ϵ$的任意性要求${\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}\ge 0$。 当${\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}=0$时，根据命题 14.5，${\Vert Tx\Vert }_Y=0$对所有$x\in X$成立，因此$T\equiv 0$，正定性得证； 对于任意$\lambda \in \mathbb{F}$，将$\lambda T$代入命题 14.5中任一表达式可证明该结论，线性性得证； 对于任意$S\in \mathcal{L}(X,Y)$，${\Vert (S+T)x\Vert }_Y={\Vert Sx+Tx\Vert }_Y\le {\Vert Sx\Vert }_Y+{\Vert Tx\Vert }_Y$对任意满足${\Vert x\Vert }_X=1$的$x\in X$成立，因此${\Vert S+T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}\le {\sup }_{{\Vert x\Vert }_X=1}({\Vert Sx\Vert }_Y+{\Vert Tx\Vert }_Y)\le {\Vert S\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}+{\Vert T\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}$，三角不等式得证。

设$(T_n)$是$\mathcal{L}(X,Y)$内的Cauchy列，那么对于任意正数$ϵ$和$x\in X$，存在$n_0\in \mathbb{N}$，使得${\Vert T_n-T_m\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}<ϵ$对所有$n,m\ge n_0$成立。 根据命题 14.5，对于任意给定的$x\in X$，${\Vert T_{n}x-T_{m}x\Vert }_Y\le {\Vert T_n-T_m\Vert }_{\mathcal{L}(X,Y)}{\Vert x\Vert }_X<ϵ{\Vert x\Vert }_X$，因此$(T_{n}x)$是Banach空间$Y$内的Cauchy列，其收敛到$Y$内某个向量。 根据定理 3.1，可以通过指定$T\in \mathrm{Hom}(X,Y)$在$X$的每个基向量上的值唯一确定$T$，并通过线性延拓使得$Tx={\lim }_n{T}_{n}x$对所有$x\in X$成立。 下面证明$T\in \mathcal{L}(X,Y)$。 利用范数的连续性（命题 14.2）与极限的单调性（定理 1.15），$\Vert T_{n}x-Tx\Vert ={\lim }_m\Vert T_{n}x-T_{m}x\Vert \le ϵ{\Vert x\Vert }_X$对所有$x\in X$和$n\ge n_0$成立。 根据命题 14.4，$T-T_n\in \mathcal{L}(X,Y)$。 命题 3.1表明，$\mathrm{Hom}(X,Y)$是一个向量空间，而复合映射的连续性（简单验证或参见命题 A.3）要求$\mathcal{L}(X,Y)$为$\mathrm{Hom}(X,Y)$的一个子空间。 因此$T=(T-T_n)+T_n\in \mathcal{L}(X,Y)$。