预备知识

设$S$为非空集合，那么以$S$为基础集（underlying set）的多重集（multiset）$M$是由有序对组成的集合：

其中${\mathbb{Z}}^{+}$为正整数集，自然数$n_i$称为$M$中元素的重数（multiplicity）。 若多重集的基础集有限，我们称多重集也是有限的，其大小为其所有元素重数之和。

设$S:f\to T$为从集合$S$到集合$T$的函数（function）。

1. $f$的定义域（domain）为$S$；

2. $f$的像（image）或值域（range）是集合$\mathrm{im}(f)=\left\{f(s)|s\in S\right\}$；

3. 若$x\ne y\Rightarrow f(x)\ne f(y)$，则称$f$是单射（injective）或嵌入（embedding）；

4. 若$\mathrm{im}(f)=T$，则称$f$是到$T$上的满射（surjective）；

5. 若$f$既是单射又是满射，则称$f$是双射（bijective）；

6. 假定$0\in T$，则$f$的支撑集（support）为$\mathrm{supp}(f)=\left\{s\in S|f(s)\ne 0\right\}$。

设$\mathcal{S}$为非空集合构成的非空集族。 $\mathcal{S}$上的选择函数（choice function）$f$是从$\mathcal{S}$到${\cup }_{S\in \mathcal{S}}S$的函数，其对于$\mathcal{S}$中的每个集合$S$，$f(S)$是$S$的一个元素。

设$S$为非空集合，若$S$上的二元关系$\sim$满足

1. 自反性（reflexivity）：对于任意$a\in S$，$a\sim a$；

2. 对称性（symmetry）：对于任意$a,b\in S$，$a\sim b\Rightarrow b\sim a$；

3. 传递性（transitivity）：对于任意$a,b,c\in S$，$a\sim b,b\sim c\Rightarrow a\sim c$；

则称$\sim$为$S$上的等价关系（equivalence relation）。

设$\sim$为$S$上的等价关系。 对于$S$上的元素$a$，所有与$a$等价的元素集合记为$[a]=\left\{b\in S|b\sim a\right\}$，称其为$a$的等价类（equivalence class）。

若非空子集$S$的非空子集族$\left\{A_1,\cdots ,A_n\right\}$满足

1. 对于任意$i\ne j$，$A_i\cap A_j=\varnothing$；

2. $S=A_1\cup \cdots \cup A_n$；

则称其为$S$的一种划分（partition），其中每个$A_i$称为划分的块（block）。

设$\sim$为$S$上的等价关系。 对于任一集合$T$，若函数$f:S\to T$在每个等价类上均为常数，即

则称其为不变量（invariant）； 若其在每个等价类上均为常数且常数互不相同，即

则称其为完全不变量（complete invariant）。 若不变量族$\left\{f_1,\cdots ,f_n\right\}$满足

则称其为完整不变量系统（complete system of invariants）。

设$\sim$为$S$上的等价类，$C$为$S$的某个子集。 若对于每个$s\in S$，存在唯一的$c\in C$使得$c\sim s$，则称$C$为关于$\sim$的规范形集（set of canonical form）。 换言之，$\sim$下的每个等价类唯一包含$C$中的一个元素。

对于非空集合$P$与二元关系$\le$，$(P,\le )$构成一个偏序集（partially ordered set），满足

1. 自反性：对于任意$a\in P$，$a\le a$；

2. 反对称性：对于任意$a,b\in P$，$a\le b,b\le a\Rightarrow a=b$；

3. 传递性：对于任意$a,b,c\in P$，$a\le b,b\le c\Rightarrow a\le c$。

这里$\le$称为偏序（partial order），读作“小于等于”。 偏序集通常也简称为poset。

设$P$为偏序集。

1. 若$P$中不存在比元素$m$大的元素，即对于任意$p\in P$，$m\le p\Rightarrow m=p$，则称$m$为极大元（maximal element）；

2. 若$P$中不存在比元素$n$小的元素，即对于任意$p\in P$，$p\le n\Rightarrow p=n$，则称$n$为极小元（minimal element）；

3. 设$a,b\in P$，则如果元素$u\in P$满足$a\le u$且$b\le u$，则称$u$是关于$a$和$b$的上界（upper bound）。 若存在关于$a$和$b$的唯一最小上界，则称其为$a$和$b$的最小上界（least upper bound）或上确界（supremum），记作$\mathrm{lub}\left\{a,b\right\}$；

4. 设$a,b\in P$，则如果元素$\ell \in P$满足$\ell \le a$且$\ell \le b$，则称$\ell$是关于$a$和$b$的下界（lower bound）。 若存在关于$a$和$b$的唯一最大下界，则称其为$a$和$b$的最大下界（greatest lower bound）或下确界（infimum），记作$\mathrm{glb}\left\{a,b\right\}$；

若偏序集内每对元素都是可比较的，则称其为全序集（totally ordered set）或线性序集（linearly ordered set）。 偏序集$P$的任一全序子集称为$P$的一条链（chain）。

1. 若某个集合能与形如${\mathbb{Z}}_n=\left\{0,1,\cdots ,n-1\right\}$的集合构成一一映射，则称其有限（finite），其中$n$是某个非负整数。 非有限的集合称为无限的（infinite），有限集的基数就是集合的元素数；

2. 自然数集$\mathbb{N}$的基数为${\aleph }_0$，读作“阿列夫零（aleph nought）”，其中$\aleph$是希伯来（Hebrew）字母表的第一个字母，因此$\left|\mathbb{N}\right|=\left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{Q}\right|={\aleph }_0$；

3. 任何具有基数${\aleph }_0$的集合称为可数无穷集（countably infinite set），任何有限或可数无穷的集合称为可数集（countable set）。 非可数的无穷集称为不可数的（uncountable）。

设$\kappa$和$\lambda$为基数，$S$和$T$为任意满足$\left|S\right|=\kappa$和$\left|T\right|=\lambda$的不相交集合。

1. 和$\kappa +\lambda$是$\left|S\cup T\right|$的基数；

2. 积$\kappa \lambda$是$S\times T$的基数；

3. 幂${\kappa }^{\lambda }$是$S^T$的基数。

非空集合$G$在二元运算$\ast$下可构成一个群（group），满足

1. 封闭性：对于任意$a,b\in G$，$a\ast b\in G$；

2. 结合律：对于任意$a,b,c\in G$，$(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$；

3. 单位元（identity）：存在$e\in G$，使得对于任意$a\in G$，$a\ast e=e\ast a=a$；

4. 逆元（inverse）：对于任意$a\in G$，存在$a^{-1}\in G$，使得$a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$。

若对于群$G$中任意元素$a,b$均有$a\ast b=b\ast a$，则称$G$是阿贝尔的（Abelian）或交换的（commutative）。 对于Abelian群，习惯上将运算$\ast$记为$+$，并将单位元称为零元（zero element），将逆元称为负元（negative），记为$-a$。

非空集合$R$在二元运算加法（记为$+$）和乘法（用并置表示）下构成一个环（ring），满足

1. $R$在加法下构成一个Abelian群；

2. 乘法结合律：对于任意$a,b,c\in R$，$(ab)c=a(bc)$；

3. 左右分配律：对于任意$a,b,c\in R$，$(a+b)c=ac+bc$且$c(a+b)=ca+cb$。

若对于任意$a,b\in R$有$ab=ba$，则称环是交换的； 若环$R$具有乘法单位元，则称其为含幺环（ring with identity），通常该单位元记为1。

至少含有两个元素的集合$F$在二元运算加法（记为$+$）和乘法（用并置表示）下构成一个域（field），满足

1. $F$在加法下构成一个Abelian群；

2. 所有非零元素构成的集合$F^{\ast }$在乘法下构成一个Abelian群；

3. 左右分配律：对于任意$a,b,c\in F$，$(a+b)c=ac+bc$且$c(a+b)=ca+cb$。

度量空间（metric space）是一组有序对$(X,d)$，其中$X$为非空集合，实值函数$d:X\times X\to \mathbb{R}$称为$X$上的度量（metric），满足

1. 正定性（positive definiteness）：对于任意$x,y\in X$，$d(x,y)\ge 0$，等号成立当且仅当$x=y$；

2. 对称性（symmetry）：对于任意$x,y\in X$，$d(x,y)=d(y,x)$；

3. 三角不等式（triangle inequality）：对于任意$x,y,z\in X$，$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$。

设$(X,d)$为度量空间，$x\in M$且$r>0$为正实数。

1. 以$x$为中心、$r$为半径的开球（open ball）为

   $$B(x,r)=\left\{y\in X|d(x,y)<r\right\}.$$

   (1.3.3)

2. 以$x$为中心、$r$为半径的闭球（closed ball）为

   $$\bar{B}(x,r)=\left\{y\in X|d(x,y)\le r\right\}.$$

   (1.3.4)

设$(X,d)$为度量空间，对于子集$U\subseteq X$内每个点$x$，均存在$r>0$使得$B(x,r)\subseteq U$，则称$U$为开集（open set）。 若子集$U$的补集$X\backslash U$为开集，则称$U$为闭集（closed set）。

设$(X,d)$为度量空间。 若对于$x\in X$和集合$U$，存在开集$V\subseteq U$使得$x\in V$，则称$U$是$x$的一个邻域。

设$U$为度量空间$(X,d)$的一个子集。 若$U$是$x$的邻域，则称点$x\in U$为$U$的内点（interior point），并称

1. $\mathrm{Int}(U)=\left\{x\in U|x\text{is an interior of }U\right\}$为$U$的内部（interior）；

2. $\bar{U}=\left\{x\in X|U\cap V\ne \varnothing \text{for every neighbourhood }V\text{of }x\right\}$为$U$的闭包（closure）；

3. $\partial U=\bar{U}\backslash \mathrm{Int}(U)$为$U$的边界（boundary）。

设$(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$是度量空间$(X,d)$的一个序列。 若对于$x$的每个邻域$U$，存在$n_0\in \mathbb{N}$使得$x_n\in U$对所有$n\ge n_0$成立，则称$x$是$(x_n)$的极限（limit），记为

若序列有极限，则称其收敛（convergent），否则称其发散（divergent）。

设$(x_n)$为度量空间$(X,d)$内的序列。 若对于每个$ϵ>0$，存在$n_0\in \mathbb{N}$使得$d(x_n,x_m)<ϵ$对所有$m,n\ge n_0$成立，则称$(x_n)$为Cauchy列（Cauchy sequence）。

若度量空间中的每条Cauchy列都具有极限，则称其完备（complete）。

设$(X,d)$为度量空间，若存在$X$内的开集族$(U_k{)}_{k\in K}$使得$X\subseteq {\cup }_{k\in K}{U}_k$，则称其为$X$的开覆盖（open cover）。 若对于每个开覆盖$(U_k{)}_{k\in K}$，存在有限多个$k_i\in K(i=1,\cdots ,m)$使得$(U_{k_i}{)}_{i=1,\cdots ,m}$是$X$的开覆盖，则称空间$X$是紧致的（compact），并称${\cup }_{i=1}^m{U}_{k_i}$为$X$的有限子覆盖（finite subcover）。

对于两个度量空间$X$和$Y$之间的函数$f:X\to Y$，若对于每个$f(x)$的邻域$V\subseteq Y$，存在$x$的邻域$U\subseteq X$使得$f(U)\subseteq V$，则称函数$f$在点$x\in X$处连续（continuous at $x$）。 若映射$f:X\to Y$在所有$x\in X$上连续，则称其连续（continuous），并记所有从$X$到$Y$的连续映射构成的集合记为$C(X,Y)$。