实内积空间与复内积空间

1. 由于$\tau v\in V$，可取$w=\tau v$，因此根据定义，$⟨\tau v,\tau v⟩=0$当且仅当$\tau v=0$对所有$v\in V$成立，故$\tau =0$；

2. 设$v=rx+y$，其中$x,y\in V$且$r\in F$，则

   $$\begin{array}{rl}0& =⟨\tau v,v⟩=⟨\tau (rx+y),rx+y⟩={\left|r\right|}^2⟨\tau x,x⟩+⟨\tau y,y⟩+r⟨\tau x,y⟩+\bar{r}⟨\tau y,x⟩.\end{array}$$

   (5.1.8)

   分别取$r=1$和$\text{i}$，可得

   $$\{\begin{array}{l}⟨\tau x,y⟩+⟨\tau y,x⟩=0,\\ ⟨\tau x,y⟩-⟨\tau y,x⟩\end{array}⟹⟨\tau x,y⟩=⟨\tau y,x⟩=0\text{for all }x,y\in V⟹\tau =0.$$

   (5.1.9)

这里我们仅证明Cauchy-Schwarz不等式。 对于任意$u,v\in V$和$r\in F$，考虑$u-rv$的范数：

取$r=⟨u,v⟩/⟨v,v⟩$，则有

等号成立当且仅当$u=rv$，即$u$是$v$的标量倍。

若$\tau$为等距映射，取$u=v$自然有$\Vert \tau v\Vert =\Vert v\Vert$； 反之根据极化恒等式（定理 5.2），在实内积空间中，

此时$\tau$为等距映射。 复内积空间的情形类似。

1. 对于任意$u,v\in X^{\perp }$和$r,s\in F$，$⟨ru+sv,X⟩=r⟨u,X⟩+s⟨v,X⟩=0$，因此$ru+sv\in X^{\perp }$。 根据命题 2.1，$X^{\perp }$为子空间；

2. 对于任意$v\in S\cap S^{\perp }$，$⟨v,v⟩=0$，因此$v=0$，即$S\cap S^{\perp }=\left\{0\right\}$。

若$V=S\odot T$，那么根据定义，$T\subseteq S^{\perp }$。 对于任意$v\in S^{\perp }\subseteq V$，存在$s\in S$和$t\in T$使得$v=s+t$，因此$0=⟨s,v⟩=⟨s,s⟩+0$，进而$s=0$，故$v=t\in T$，反向包含证毕。 由表述2证明表述1是显然的。

考虑正交集$\mathcal{O}=\left\{u_i|i\in I\right\}$以及线性组合${\sum }_{j=1}^n{r}_{i_j}{u}_{i_j}=0$，利用正交性可知$0=⟨u_{i_k},{\sum }_{j=1}^n{r}_{i_j}{u}_{i_j}⟩=r_{i_k}⟨u_{i_k},u_{i_k}⟩$，即$r_{i_k}=0$对所有$k=1,\cdots ,n$成立，因此$\mathcal{O}$线性无关。

当$k=1$时，该结论显然成立。 假定该结论在$k-1$时成立，若

那么存在$a_i\in F$使得$v_k={\sum }_{i=1}^{k-1}{a}_i{u}_i$，进而$⟨v_k,u_i⟩=a_i⟨u_i,u_i⟩$。 因此当$u_i\ne 0$时$a_i=r_{k,i}$，即$u_k=v_k-{\sum }_{i=1}^{k-1}{r}_{k,i}{u}_i=0$，即

反之若$v_k\notin \text{span}\left\{v_1,\cdots ,v_{k-1}\right\}$，则Gram-Schmidt增广过程（定理 5.6）已给出结果。 综上，该结论对任意自然数$k$成立，从而可得到一条正交向量列。

对于充分性，假设存在$v\in V$使得$\mathcal{O}\cup \left\{v\right\}$构成一组标准正交集。 由于$\mathcal{O}$是Hamel基，存在$r_i\in F$使得$v={\sum }_{i=1}^k{r}_i{u}_i$，进而$0=⟨v,u_i⟩=r_i$对所有指标$i=1,\cdots ,k$成立，因此$v=0$，即$\mathcal{O}$为Hilbert基。 反之对于必要性，假设存在$v\in V$使得$\mathcal{O}\cup \left\{v\right\}$构成一组线性无关集。 利用Gram-Schmidt增广过程（定理 5.6）可得到一组更大的标准正交集，但这与$\mathcal{O}$的极大性矛盾，因此$\mathcal{O}$为Hamel基。

1. 首先验证$⟨v-\hat{v},u_i⟩=⟨v,u_i⟩-⟨v,u_i⟩=0$，因此对于任意$s\in S=⟨\mathcal{O}⟩$，$⟨v-\hat{v},s⟩=0$，即$(v-\hat{v})\perp S$。 设存在另一个$s\in S$使得$(v-s)\perp S$，由于$S$和$S^{\perp }$均为子空间（命题 5.3），故$s-\hat{v}\in S$，同时$s-\hat{v}=(v-\hat{v})-(v-s)\in S^{\perp }$，从而$s-\hat{v}\in S\cap S^{\perp }=\left\{0\right\}$，即$s=\hat{v}$，唯一性得证；

2. 对于任意$s\in S\backslash \left\{\hat{v}\right\}$，由于$(v-\hat{v})\perp S$且$s,\hat{v}\in S$，有

   $${\Vert v-s\Vert }^2={\Vert (v-\hat{v})+(\hat{v}-s)\Vert }^2={\Vert v-\hat{v}\Vert }^2+{\Vert \hat{v}-s\Vert }^2\ge {\Vert v-\hat{v}\Vert }^2,$$

   (5.4.3)

   等号成立当且仅当$s=\hat{v}$，因此$\Vert v-\hat{v}\Vert <\Vert v-s\Vert$对所有$s\in S\backslash \left\{\hat{v}\right\}$成立；

3. 当$\mathcal{O}$为Hilbert基时，假设存在$v\in V$使得$v\notin S$，那么可通过Gram-Schmidt增广过程（定理 5.6）得到一组新的标准正交基，但这与$\mathcal{O}$的极大性矛盾。 因此存在$r_i\in F$使得$v={\sum }_{i=1}^k{r}_i{u}_i$对任意$v\in V$成立，其中$r_i=⟨v,u_i⟩$。 故$v=\hat{v}$，自然有$\Vert v\Vert =\Vert \hat{v}\Vert$。 当$\mathcal{O}$不为Hilbert基时，存在$v\in V$满足$v\notin S$，可通过Gram-Schmidt增广过程（定理 5.6）得到非零单位向量$u_{k+1}=v-{\sum }_{i=1}^k{r}_i{u}_i$，其中$r_i=⟨v,u_i⟩$。 因此$u_{k+1}=v-\hat{v}\in S^{\perp }$，进而${\Vert v\Vert }^2={\Vert \hat{v}\Vert }^2+{\Vert v-\hat{v}\Vert }^2>{\Vert \hat{v}\Vert }^2$。 综上，$\Vert v\Vert \ge \Vert \hat{v}\Vert$对所有$v\in V$成立。

取$S$的一组有限基$\mathcal{B}$，将其通过Gram-Schmidt增广过程（定理 5.6）得到一组标准正交基$\mathcal{O}=\left\{u_1,\cdots ,u_k\right\}$。 再结合定理 5.9构造任意$v\in V$的Fourier展开$\hat{v}$，可知$(v-\hat{v})\in S^{\perp }$，因此$V=S+S^{\perp }$。 根据命题 5.3和定理 5.5，$V=S\odot S^{\perp }$。 维数关系源于推论 4.2。

1. 显然对于任意$s\in S$，$s\perp S^{\perp }$，因此$S\subseteq S^{\perp \perp }$； 若$v\in S^{\perp \perp }\subseteq V$，根据投影定理 5.10，存在$s\in S$和$t\in S^{\perp }$使得$v=s+t$。 那么$0=⟨v,t⟩=⟨t,t⟩$，进而$t=0$。 可见$v=s\in S$，即$S^{\perp \perp }\subseteq S$。 综上，$S^{\perp \perp }=S$；

2. 根据上述结果，只要证明$X^{\perp }={⟨X⟩}^{\perp }$则结论得证。 显然${⟨X⟩}^{\perp }\subseteq X^{\perp }$； 对于反向包含，由于$X^{\perp }$是$V$的子空间（命题 5.3），考虑$v\in X^{\perp }$以及$⟨X⟩$的一组有限基$\mathcal{B}$。 由于$v\perp X$，显然$v\perp \mathcal{B}$，进而$v/⟨\mathcal{B}⟩=⟨X⟩$，可见$X^{\perp }\subseteq {⟨X⟩}^{\perp }$。 综上，$X^{\perp }={⟨X⟩}^{\perp }$，结论得证。

1. 若表述1成立，则定理 5.9中结论3的证明已表明，对于任意$v\in S^{\perp }\subseteq V$，存在$r_i\in F$使得$v={\sum }_{i=1}^k{r}_i{u}_i$，因此$⟨v,u_i⟩=0$对所有指标$i=1,\cdots ,k$成立。 故$v=0$，即$S^{\perp }=\left\{0\right\}$，表述2成立；

2. 若表述2成立，根据定理 5.9，$(v-\hat{v})\in S^{\perp }=\left\{0\right\}$，因此$\hat{v}=v$，表述3成立；

3. 若表述3成立，表述4显然成立；

4. 若表述4成立，那么对于实内积空间内的任意向量$v$，

   $$\begin{array}{rl}{\Vert v\Vert }^2& ={\Vert \hat{v}\Vert }^2={\Vert \sum _{i=1}^k⟨v,u_i⟩u_i\Vert }^2=\sum _{i=1}^k⟨v,u_i⟩⟨u_i,v⟩.\end{array}$$

   (5.4.5)

   因此利用极化恒等式（定理 5.2），

   $$\begin{array}{rl}⟨v,w⟩& =\frac{1}{4}\left({\Vert v+w\Vert }^2-{\Vert v-w\Vert }^2\right)\\ & =\frac{1}{4}\sum _{i=1}^k\left(⟨v+w,u_i⟩⟨u_i,v+w⟩-⟨v-w,u_i⟩⟨u_i,v-w⟩\right)\\ & =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^k\left(⟨w,u_i⟩⟨u_j,v⟩+⟨v,u_i⟩⟨u_j,w⟩\right)\\ & =\sum _{i=1}^k⟨w,u_i⟩⟨u_j,v⟩=⟨v,u_1⟩\overline{⟨w,u_1⟩}+\cdots +⟨v,u_k⟩\overline{⟨w,u_k⟩}.\end{array}$$

   (5.4.6)

   复内积空间的情形类似，故表述1成立；

5. 若表述5成立，假设存在$v\in V$使得$\mathcal{O}\cup \left\{v\right\}$为标准正交集，那么$0=⟨v,u_i⟩$对所有指标$i=1,\cdots ,k$成立，进而对于任意$w\in V$，

   $$⟨v,w⟩=⟨v,u_1⟩\overline{⟨w,u_1⟩}+\cdots +⟨v,u_k⟩\overline{⟨w,u_k⟩}=0,$$

   (5.4.7)

   即$v\perp V$，这要求$v=0$，否则$⟨v,v⟩\ne 0$推出矛盾。 因此$\mathcal{O}$为极大标准正交集，即标准正交基。

1. 前已证明$\tau x$共轭线性，根据引理 5.1，$\tau x=\tau y$即$⟨\cdot ,x⟩=⟨\cdot ,y⟩$意味着$x=y$，因此$\tau$为单射。 对于任意$f\in V^{\ast }$，根据命题 4.1，$K=\ker (f)$的余维数为1。 根据投影定理 5.10，对于任意给定的非零向量$w\in V$，$V=⟨w⟩\odot K$，这要求$w\in K^{\perp }$。 取$x=\alpha w$，其中$\alpha \in F$，我们希望对于任意$v\in V$证明$f(v)=⟨v,\alpha w⟩$。 若$v\in K$，则$0=f(v)=\bar{\alpha }⟨v,w⟩=⟨v,\alpha w⟩$； 若$v\in K^{\perp }$，则存在$r\in F$使得$v=rw$，仅需证明$f(w)=⟨w,\alpha w⟩$。 不妨取$\alpha =\overline{f(w)}/⟨w,w⟩$，则上式成立。 综上，对于每个$f\in V^{\ast }$，总可以选择非零向量$w\in V$和$\alpha =\overline{f(w)}/{\Vert w\Vert }^2\in F$，使得$V=⟨w⟩\odot K$。 那么对于任意$v\in V$，总存在$r\in F$和$u\in K$，使得$v=rw+u$，进而$f(v)=rf(w)+f(u)=\bar{\alpha }r⟨w,w⟩=⟨rw,\alpha w⟩=⟨v,x⟩$，其中$x=\alpha w$唯一。

2. 对于上述$f\in V^{\ast }$和非零向量$w$，可定义$Rf=R_f=x=\alpha w$，首先验证其共轭线性：

   $$⟨v,R_{rf+sg}⟩=⟨v,\overline{rf(w)+sg(w)}(w/{\Vert w\Vert }^2)⟩=⟨v,\bar{r}{R}_f+\bar{s}{R}_g⟩$$

   (5.5.2)

   对任意$v\in V$、$r\in F$和$f,g\in V^{\ast }$成立，因此根据引理 5.1，$R_{rf+sg}=\bar{r}{R}_f+\bar{s}{R}_g$，故$R$具有共轭线性。 另外，对于任意$v\in V$，$(R\circ \tau )v=R⟨\cdot ,v⟩=v$； 对于任意$f\in V^{\ast }$，存在$x\in V$使得$f=⟨\cdot ,x⟩$，因此$(\tau \circ R)f=\tau x=⟨\cdot ,x⟩=f$。 可见$R$是$\tau$的逆映射，因而也是共轭同构，证毕。